Introducción

     La matemática considerada en el mundo científico como la madre de todas las ciencias y el lenguaje de la naturaleza, ha sido, por su alto grado de complejidad, estudiada y entendida por pocas personas; justificada o injustificadamente, el hombre ha manifestado cierta incapacidad para abordarla. Esta actitud tiene como causa, el escaso o nulo fortalecimiento de las estructuras mentales desde temprana edad; se suma a lo anterior, el uso inadecuado de metodologías que impide que la edad mental esté en concordancia con el edad cronológica.

     El paso brusco de las operaciones concretas a la simbología representada por los números, que se presenta entre los cinco y seis años de edad, es traumático para el infante y se le causa un daño irreparable que de inmediato se refleja en las dificultades de aprendizaje, en la apatía por esta área del conocimiento y en la renuncia definitiva, para el futuro, del estudio de sus áreas afines, ya en lo técnico, ya en lo universitario.

 

     “La aritmética a través del ábaco” es un libro que facilita el aprendizaje de las operaciones fundamentales (adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación), con los números naturales, enteros y decimales, en el sistema decimal, y la adición y sustracción, en el sistema binario. El empleo apropiado del ábaco vertical magnético, es un puente entre las operaciones concretas y las operaciones formales, lo que facilita el aprendizaje.

 

Este instrumento de cómputo, que ha soportado el paso de los años, hoy, ha desaparecido del aula de clase. El desconocimiento que tenemos de sus prodigiosas propiedades y de su adecuado manejo, ha contribuido a ignorarlo como herramienta que facilita el aprendizaje de los fundamentos aritméticos básicos en la comprensión e interpretación del mundo y sus fenómenos.

Cada capítulo comienza y termina con una anécdota, paradoja, rompecabezas o relato matemático-científico, cuyas soluciones se encuentran al final del libro.

 

El primero capítulo describe una breve historia del ábaco desde los albores de la humanidad, y pasa por la edad Antigua, la Media y la Moderna, hasta los diseños actuales.

 

El segundo capítulo es una recopilación de los sistemas de numeración más empleados (decimal y binario); además, representa guarismos en el sistema decimal y binario en el ábaco vertical magnético.

 

A partir del tercer capítulo, se explican las operaciones aritméticas en los dos sistemas de numeración; cada operación plantea sus respectivas leyes, ya que éstas sientan las bases de la intrincada estructura de la aritmética; dichas leyes son didácticamente ilustradas con ejemplos concretos, que pueden ser comprobados en el ábaco; para complementar, se solucionan problemas relacionados con situaciones cotidianas de los niños,   y por último, se proponen algunos más.

 

Este libro va dirigido a docentes de preescolar, primero y segundo de la básica primaria, evita, el uso de símbolos numéricos, pues el autor considera que además, de no ser necesarios, los niños no tienen el desarrollo mental para interiorizarlos; de lo anterior, se deduce que es posible el aprendizaje de las operaciones fundamentales, si se omite este recurso.

 

Éstos son los aspectos más relevantes que hacen, desde los primeros años de escolaridad, renunciar a los niños definitivamente, del aprendizaje de esta área del conocimiento; el ábaco le da solución a las siguientes deficiencias:

 

  1. El paso inesperado a las operaciones aritméticas con la utilización de los símbolos numéricos, sin permitir que los niños quemen la etapa de las operaciones concretas.

  2. La realización de ejercicios abstractos, sin ningún soporte en situaciones cotidianas de los niños, presentadas en forma de problemas.

  3. En las adiciones y sustracciones la utilización de terminología difícilmente procesada por la mente de los niños: “escribo tanto y llevo otro tanto”; “ de tanto a tanto, no se puede, entonces paso a la casilla tal y le digo que me preste otro tanto”.

  4. La forma equívoca como se enseñan las multiplicaciones básicas, hasta ahora, mal llamadas tablas de multiplicar.

 
Unidad uno
✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑    Capítulo  I    ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑

Historia del Ábaco.

En los albores de la humanidad, el ser humano tuvo la necesidad de contar, y ante la inexistencia de los símbolos numéricos utilizó los dedos de sus manos. Para representar grandes cantidades recurrió a piedras, ramas y otros recursos fáciles de manipular; los comerciantes de la época, que utilizaban como método de intercambio de productos, el canje, requerían, además del proceso de conteo, el cálculo, para determinar el costo de los artículos comprados y vendidos. Entre los muchos dispositivos utilizados para tal fin, el único que ha soportado el paso de los tiempos, es el Ábaco, palabra latina cuya raíz griega es abax  o  abakon, que significa tabla o tablilla.

Esta importante ayuda didáctica ha evolucionado desde los tiempos antiguos hasta nuestra época, de acuerdo con  la  siguiente línea de tiempo que muestra su desarrollo a partir de las primeras tablas de contar hasta el ábaco presente; es de anotar que el progreso en los primeros mil años de la humanidad fue lento:

 

 

 

 

 

 

 

 

Tiempos Antiguos:

 

 

 

 

 

 

La Tabla Salamis, el Calculi Romano y el Ábaco Manual acompañan al hombre en sus actividades de conteo y cálculo desde el año 300 a.C al 500 d.C.

La Edad Media

 

El Apices, la tabla de monedas y la tabla de líneas hacen presencia desde el año  500 d.C. hasta alrededor del año 1400 d.C.

En esta época de la historia la madera fue el material utilizado para su manufactura; las fichas de conteo ocuparon una posición horizontal; además,  como la invención de los símbolos numéricos, ganó popularidad en la última parte de este período, el empleo del ábaco entró en decadencia.

Tiempos Modernos:

 

 

 

El Suan-pan, el Soroban y el Schoty corresponden al periodo alrededor del 1200 d.C al presente.

El Ábaco como lo conocemos, apareció alrededor del 1200 d.C. en China y se denominó suan-pan. Este ábaco clásico  en cada barra tiene 2 esferas en la cubierta superior y 5 en la cubierta inferior por lo que también se le llamó 2/5. Alrededor del 1600 d.C., el uso y la evolución del Ábaco Chino se trasladó al Japón a través de Korea; allí, se llamó Soroban y se impuso el modelo 1/5 (una esfera en la cubierta superior y cinco en la parte inferior).  A partir de esta época, esta estructura ha presentado pequeñas variaciones; por ejemplo, desde 1930 se manufactura en el Japón el modelo ¼, puesto que los otros dos han entrado en decadencia y, sólo algunas regiones lo emplean, especialmente en la China y Norte América.

Estudios recientes hacen referencia a un Ábaco de la civilización azteca que existe en México, llamado el Nepohualtzitzin, entre los años 900-1000 d.C., donde los contadores estaban elaborados de granos de maíz enhebrados en cadenas montadas en un marco de madera.

El Schoty, es un ábaco ruso inventado en el siglo XVII y se usa en algunos lugares.

 

Diseños actuales del Ábaco:

1. El Ábaco de Lee Kai-Chen.

Fue diseñado por el Chino Lee Kai-Chen en 1958; Mide trece pulgadas de ancho por ocho de altura  y consta de cuatro cubiertas que corresponden a dos ábacos apilados, uno de los cuales es el Soroban ¼ que tiene 18 columnas de las cuales las primeras nueve de la izquierda contienen esferas mas pequeñas de color verde claro; el color de las esferas de las siguientes nueve columnas, es blanco ; en la parte inferior, está el Suan-pan 2/5, con trece columnas y  esferas negras más grandes.                                

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. El Ábaco de Dilson:

Este Ábaco mide 5.5 pulgadas de ancho por 3.5 pulgadas de alto, fabricado en pino blanco; contiene nueve columnas; es en esencia el Suan-pan 2/5 con una mejorada manufactura.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. El Tomoe Soroban:

 

Tiene 23 columnas y mide catorce pulgadas de largo por dos pulgadas de  alto; es el mismo Soroban ¼, japonés, con dos cubiertas; la superior, tiene una esfera en cada columna, y la inferior, cuatro esferas en cada una de ellas. Su terminado es mucho mejor, pues es envuelto en una bolsa plástica y viene en una caja.

 

 

 

 

 

4. Ábaco vertical magnético:

Esta ayuda didáctica, diseñada en el año 2006 por Orlando Salgado Ramírez, está en dos presentaciones:

 

Ábaco físico:  

 

Construido en acero inoxidable, En la parte  superior del marco, cara inferior, se encuentran incrustadas unas barras magnéticas y, por el frente, diez fichas que integran  el módulo de conteo; más abajo, unos pequeños orificios donde se inserta un pin que representa la coma, para operar el ábaco con números decimales.

Tiene cinco barras verticales de 13 centímetros de longitud; cada una de ellas con diez esferas metálicas de 0,9 centímetros de diámetro; el ábaco tiene una altura máxima de 16 centímetros y un ancho de 16,5 centímetros.

 

 

 

 

Ábaco virtual:

Diseñado en flash, En la parte  superior está dispuesto el módulo de conteo integrado por diez fichas de forma esférica de color fucsia; más abajo, un símbolo blanco que representa la coma, para operar el ábaco con números decimales.

En el área de las operaciones están dispuestas cinco barras verticales de color azul; cada una de ellas con diez esferas de diferentes colores que indican las posiciones relativas en el sistema de numeración decimal, así:

Azul claro representa  las unidades.

Morado representa las decenas.

Rojo representa las unidades de mil.

Naranja representa las decenas de mil.

Verde claro representa las centenas de mil.

 

En el soporte inferior aparece la pizarra, que indica, con un número, el valor relativo de las fichas que son desplazadas, sólo en el sistema de numeración decimal para números enteros.

 

 

 

 

PROPIEDADES DEL ÁBACO VERTICAL MAGNÉTICO:

 

1. La disposición vertical de las fichas,(esferas), corresponde a la escritura de los números, en cualquier sistema, y respeta las estructuras mentales establecidas en los niños desde los primeros años de aprendizaje.

 

2. A diferencia del ábaco vertical abierto, éste es más versátil, pues todas las fichas permanecen en las barras, y así, se evita que se saquen e introduzcan constantemente, lo que es más dispendioso y promueve la desconcentración.

 

3. Las barras magnéticas incrustadas en la parte superior del ábaco físico,  sostienen la fichas cuando éstas son desplazadas hacia arriba, lo que permite que pueda ser utilizado verticalmente, y facilite la manipulación y el aprendizaje.

 

4. El módulo de conteo que aparece en la barra superior se utiliza en la multiplicación, la división, la potenciación y la radicación; las fichas de esta parte del ábaco no tienen valor relativo.

 

5. Las dos primeras esferas se emplean para representar  números en el sistema binario y realizar las correspondientes operaciones.

 

6. El punto decimal desplazable permite toda la operatividad con los números decimales.

✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑     Capítulo  II    ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑

 

La aritmética es el arte de contar; para comprender el significado

de la Matemática, para apreciar su belleza y valor es preciso, ante todo, 

comprender  la aritmética [……]. Y aunque el cálculo infinitesimal,

la teoría de probabilidades, el álgebra lineal, o la topología también

sean matemáticas, éstas son aún, en gran medida, el arte de contar. 

Saber contar es saber comparar. Los números como abstracción y artificio, 

 son algo muy posterior.

 

E. KASNER/J.NEWMAN.

Los  sistemas  de numeración


 

Recordemos que un NÚMERO es un símbolo que indica la cantidad de elementos que posee un conjunto determinado. Ejemplo: la palabra cinco no tiene significado para nosotros, pero la expresión “cinco lápices” representa, en cualquier idioma, un conjunto de cinco objetos con características perfectamente definidas.

 

Se llama SISTEMA DE NUMERACIÓN a un conjunto de símbolos numéricos utilizado por el hombre, no sólo para indicar cantidades, sino también, para realizar con ellos, las diferentes operaciones tanto de tipo aritmético como algebraico.

Un Sistema de numeración tiene los siguientes elementos:

  1. El conjunto de símbolos numéricos (intervalo de enteros positivos), con el cero como límite inferior y cualquier otro número como límite superior, dependiendo del sistema.

  2. La base,  que es igual al límite superior del intervalo, más uno (1).

  3. El nombre del sistema, que se genera a partir de la base del mismo.


 

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN

 

Se ha aceptado  como convención universal,  utilizar para los diferentes sistemas los diez símbolos del sistema decimal, y para aquellos sistemas que requieren más de diez, se emplean las letras desde la A hasta la F; los primeros quince sistemas con sus nombres, bases y símbolos  son los siguientes:

 

 

Nótese que el menor de los sistemas de numeración es el Binario.

 

De todos éstos, los más utilizados en computación son el Binario, el Octal y el Hexadecimal, debido a que  la interconversión de un sistema a otro, es inmediata.



 

La siguiente tabla muestra las representaciones del 0 al 15 en varios sistemas:

 

REPRESENTACIÓN DE GUARISMOS EN EL ÁBACO VERTICAL MAGNÉTICO


 

1. En el sistema de numeración Decimal.

 

1.1. Números enteros:

El Ábaco tiene cinco columnas, cada una con diez fichas; al pie de cada columna, en el virtual, de derecha a izquierda, aparecen las siguientes letras cuyos  significados  son:

 

U : Unidades.

D : Decenas (diez unidades), representadas por el 10.

C : Centenas (cien unidades), representadas por el 100. 

U.M : Unidades de Mil (mil unidades) representadas por el 1000

D.M : Decenas de Mil (diez mil unidades) representadas por el 10000.

 

Este mismo orden corresponde  al VALOR RELATIVO de cada dígito en un número escrito en el Sistema Decimal. Ejemplo:

 

En el número 5648:

El dígito 8 que ocupa el primer lugar, a la derecha, representa un conjunto de 8 unidades (U).

El dígito 4, está en el lugar de las decenas (D); por lo tanto se lee “cuatro decenas”, lo que significa que su valor real es 4x10=40.

El dígito 6 esta en el lugar de las centenas (C); por lo tanto se lee “seis centenas”, lo que significa que su valor real es 6x100=600.

El dígito 5 está en el lugar de las unidades de mil (U.M); se lee “cinco unidades de mil“, y su valor real es 5x1000=5000

 

REPRESENTACIÓN DE enteros EN EL ÁBACO.

1. Representar el número 5648.

 

1. Mueva hacia arriba, ocho fichas en la columna de las unidades.

2. Mueva hacia arriba, cuatro fichas de la columna de las decenas.

3. Desplace hacia arriba, seis fichas de la columna de las centenas.

4. Mueva hacia arriba, cinco fichas de la columna de las unidades de mil.

 

 

2. Representar el número 201:

 

Procedimiento:

 

  • Desplace hacia arriba, una ficha de la columna de las unidades.

  • En la columna de las decenas, no haga movimiento.

  • Mueva, hacia arriba, dos esferas de la columna de las centenas.

  • Para volver a cero, regrese todas las fichas a la posición original.





 

 

 

 

 

 

 


 

 

3. Representar el número  98053.

 

Procedimiento:

 

  • Desplace hacia arriba, tres fichas de la columna de las unidades.

  • Desplace hacia arriba, cinco fichas de la columna de las decenas.

  • En la columna de las centenas, no haga movimiento.

  • Mueva hacia arriba, ocho esferas de la columna de las unidades de mil.

  • Desplace hacia arriba, nueve fichas de la columna de las decenas de mil.

  • Para volver a cero, regrese todas las fichas a la posición original.

 

 

 

1.2. Números decimales:

 

Un número decimal es una expresión aritmética integrada por dos partes separadas entre sí,  por el punto decimal ( . ); la ubicada a la izquierda del signo, indica la cantidad entera del conjunto; es decir, el número de elementos completos del mismo; la parte que se encuentra a la derecha del punto, representa fracciones iguales de otra unidad dividida en diez, cien, mil, diez mil o cualquier otra potencia de diez. 
 

Ejemplos: 

 

 

 

 

Explicación:

 

  • El primer número (7.8) que se lee “siete enteros, ocho décimas” indica que hay siete unidades completas y otra unidad, del mismo conjunto, ha sido dividida en diez partes iguales, de las cuales se han tomado ocho.

 

  • En el número (40.302), leído “cuarenta enteros, trescientos dos milésimas” hay cuarenta unidades completas, la otra unidad ha sido dividida en mil partes iguales, de las cuales se han tomado trescientas dos.

 

  • Ejercicio: Interprete y represente en el ábaco el último número decimal que aparece en la tabla.

 

REPRESENTACIÓN DE DECIMALES EN EL ÁBACO.

 

  1. El número 8.8:

 

  • Ubique el punto decimal en el sitio que hay entre la columna de las unidades y la de las decenas.

  • De la primera columna de la derecha (que ya no es la de las unidades), mueva ocho fichas hacia arriba; esta cantidad corresponde a ocho décimas.

  • De la siguiente columna, a la izquierda de la primera, mueva ocho fichas; éstas representan las unidades.

 

 

 

Nota: observe que el punto decimal queda ubicado, en el ábaco, entre estas dos columnas.

 

  1. El número 40.302:

 

  • Para ubicar el punto decimal, tenga en cuenta que son tres cifras decimales, por lo tanto, debe posicionarse entre las columnas tres y cuatro, de derecha a izquierda.

  • De la primera columna de la derecha, desplace 2 fichas hacia arriba; éstas representan dos milésimas.

  • De la siguiente columna, que representa las centésimas. no mueva fichas. 

 


 

 

  • A continuación, realice el mismo procedimiento para representar las tres décimas.

  • La cuarta columna, que en este ejercicio hace las veces de unidades y que en el número está representada por el cero, déjela en blanco.

  • Por último, mueva cuatro fichas de la última columna.

 

Unidad dos

✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑    Capítulo III    ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑ ✑

Las operaciones aritméticas.

 

La importancia del  conocimiento

no radica en tenerlo, sino 

en saberlo aplicar.

Orlando.

1. Conceptos preliminares.

 

Antes de iniciar con las operaciones aritméticas, vale la pena realizar una serie de ejercicios preliminares sobre una de las etapas que es imprescindible  en el desarrollo de la mayoría de las operaciones, y la que ofrece más dificultad en el momento del aprendizaje razón ésta que es determinante para claudicar en la utilización de esta importante ayuda didáctica.

.las diferentes cifras de un número, en cualquier sistema, tienen un valor relativo que depende de la posición que ocupen en dicho número.

 

En el número 2497:

 

  • El 7,  por ser la primera cifra de derecha a izquierda representa 7 unidades.

  • El 9,  por estar ubicado en el segundo lugar de derecha a izquierda, representa 9 decenas,  y como cada decena tiene 10 unidades, entonces su verdadero valor es 9x10= 90 unidades.

  • El 4 ocupa el tercer lugar en el mismo sentido, y por lo tanto, representa 4 centenas; además, cada centena tiene 100 unidades, y así, su verdadero valor es 4x100 = 400 unidades.

  • Análogamente el 2 tiene un valor relativo de 2x1000 = 2000,

Cuando en el ábaco se cuentan, una a una, las fichas hasta obtener un número determinado, quince, por ejemplo, se procede así: 

 

Paso 1: se suben las primeras diez esferas.

 

 

 

 

 

 

 

 

Paso 2: para terminar de contar hasta 15, se reemplazan estas primeras diez por una decena, subiendo ésta y bajando aquéllas.

Paso 3: se cuentan las cinco unidades restantes.

Paso 4: por último, mueva las tres fichas que faltan de las decenas.

 

El número aquí representado es el 130.

Ejercicios:
Represente por el método de conteo uno a uno, los siguientes números: 29, 71, 234.

abaco_Virtual_edited.jpg
Cap2-5648.png
Cap2-201.png
Cap2-98053.png
Cap2-parte%20entera_edited.jpg
Cap2-número8.8.png
Cap2-40.302.png

2. El conjunto de los números reales:


“Los números existen independientemente del mundo tangible; por lo tanto, su estudio está libre de la contaminación producida por las imprecisiones de la percepción. Esto significa que se pueden descubrir verdades que son independientes de la opinión o del prejuicio y, que son más absolutas que cualquier conocimiento anterior.” 


Este libro está dirigido a docentes de la básica primaria, cuya misión es enseñar lúdicamente las operaciones aritméticas fundamentales, siendo el ábaco una  herramienta útil para este propósito.
Es entonces de vital importancia, recordar en forma breve los diferentes conjuntos que conforman el sistema de numeración decimal.

 

2.1. Conjunto de los números naturales: 


Representado por la letra N, es el menor de todos aunque es infinito; tiene las siguientes características:

•    Su límite inferior es el número cero (0), que indica un conjunto vacío.
•    Es infinito a partir de este límite inferior.
•    Posee los diez dígitos que dieron origen al sistema, (0, 1, 2, 3 , 4, 5, 6, 7, 8 y 9).
•    Los números son sólo símbolos, por tanto cada uno de ellos representa unidades completas de conjuntos concretos, o sea manipulables y observables.

2.2. Conjunto de los números enteros:


Este conjunto se representa con la letra Z y tiene las siguientes propiedades:

•    Es infinito por ambos extremos.
•    Se divide en enteros positivos (Z+) equivalente al conjunto de los naturales y en enteros negativos (Z-).
•    Cada número de este conjunto representa unidades completas, incluso la parte negativa.

2.3. Conjunto de los números racionales:


Se representa con la letra R; sus principales características son:

•    Es también, un conjunto infinito.
•    Se expresan en la forma p/q, donde p es un número entero llamado numerador, y q,   otro número entero, llamado denominador.
•    Se les llama, generalmente, números fraccionarios o fracciones.
•    Pueden ser expresados como números decimales, al dividir el numerador entre el denominador.
•    Una fracción es propia, cuando el numerador es menor que el denominador; representa cantidades menores que uno (una unidad); esto, puede demostrarse al convertirlo a número decimal.
•    Una fracción es impropia, cuando el numerador es mayor que el denominador, y representa cantidades que en valor absoluto, son mayores que la unidad.

2.4. Conjunto de los números irracionales:


Representado con la letra Q; sus principales propiedades son:
•    Es un conjunto infinito.
•    Comprende expresiones  positivas y negativas.
•    No  es ni entero ni fracción; tampoco puede ser escrito como decimal periódico.
•    Los dos números más famosos que lo representan son y raíz cuadrada de 2.

2.5. Conjunto de los números imaginarios:


Este conj onjunto independiente, ya que los anteriores se relacionan entre sí.
•    Los elementos de este conjunto se originan en las raíces pares de una cantidad subradical negativa.
•    El más pequeño de ellos es raíz cuadrada de menos 1 = i.

Así, como al hablar de la materia, decimos que ésta contiene átomos, que los átomos contienen, a su vez, un núcleo y, en la periferia, electrones; que el núcleo contiene protones y neutrones; análogamente, el conjunto de los números reales, como se describió anteriormente, está integrado por cinco subconjuntos que, además, son infinitos; pero, que también, están contenidos unos en otros, tal como se ilustra a continuación:

El conjunto de los enteros contiene el conjunto de los números naturales; el conjunto de los números racionales contiene el conjunto de los números enteros; el conjunto de los números imaginarios no contiene ni se deja contener por alguno.

Todo conjunto está integrado por elementos, salvo el conjunto vacío. El término contenencia se utiliza cuando todos los elementos de un conjunto pertenecen a otro conjunto mayor; ejemplo:

En una institución educativa los alumnos y las alumnas se distribuyen en grupos, varios grupos de un mismo grado (6º,7º, 8º, etc.) forman los niveles (6ºA, 6ºB, 6ºC, etc.); así, los grupos están contenidos en los niveles y, éstos a su vez, están contenidos en las institución educativa.

Regresando al conjunto de los números reales, si todos los elementos de cada uno de los subconjuntos los pudiéramos depositar en una caja, existirían unas cajas dentro de otras; la forma más precisa de indicar y entender lo expresado anteriormente, se ilustra con la siguiente figura:  

OPERACIONES CON LOS NÚMEROS NATURALES.

 

1. ADICIÓN:

Si sobre una mesa hay tres paquetes de manzanas (tres conjuntos cuyos elementos tienen las mismas características), y los reunimos para formar un solo paquete, el número total de manzanas, es el resultado de una operación llamada adición.

Figura 1

 

La adición es, entonces, un proceso de reunión de elementos de varios conjuntos, cuyos elementos tienen características comunes.

 

En una adición o reunión, cada uno de los conjuntos que se reúne se llama sumando, y el conjunto final, se llama total o suma; en el ejemplo anterior, cada uno de los paquetes de manzanas recibe el nombre de sumando y, el paquete que se obtuvo de la reunión, se llama total o suma.

 

1.1. Leyes de la adición:

Las leyes, o propiedades de las operaciones aritméticas y de las matemáticas, en general, son el espíritu de las mismas; por eso, el docente debe focalizar la enseñanza en ellas, para lograr un óptimo aprendizaje.

 

  • Ley uniforme:

Las características de los elementos que conforman los sumandos, son las mismas de los elementos del conjunto suma.

Ejemplos: Si los sumandos son manzanas, el total está integrado por las mismas manzanas; si los sumandos son caballos, el total corresponde,  también, a caballos.

 

  • Ley conmutativa:

Cualquiera sea el orden en que se reúnan los paquetes, el total es el mismo. El enunciado de esta ley es: “En una adición, el orden de los sumandos no altera el total o suma”

Figura 2

 

Compare el orden de los sumandos de las figuras 1 y 2.

  • Ley asociativa:

 

Si en el ejemplo de los paquetes de manzanas, reunimos dos paquetes en uno solo, ( Figura 3), el total o suma es el mismo. Esta ley se enuncia así: “si en una adición de varios sumandos se sustituyen parte de ellos por su total parcial, el gran total permanece inalterable”.

Figura 3

 

  • Ley disociativa:

Es la ley  opuesta  a la anterior; el verbo disociar es sinónimo de desagrupar; en el ejemplo de la figura 2, si uno de los paquetes se divide en dos, entonces, resultan cuatro paquetes; al reunirlos nuevamente, para formar uno solo (adición), el resultado no se altera.

Figura 4

  • Ley modulativa:

 

Al adicionar dos conjuntos, de los cuales uno es el conjunto vacío, el total o suma es el mismo conjunto; el cero, que representa al conjunto vacío, se llama módulo de la adición.

Figura 5

 

1.2. Problemas sobre adición:

 

Reglas para la solución de problemas.

El primer obstáculo para la solución de problemas es la deficiente comprensión de lectura, por eso los docentes deben dedicar el tiempo suficiente a esta parte; esta inversión tendrá frutos muy positivos en los futuros años de escolaridad de los niños.

 

Las pautas, que a continuación aparecerán deberán ser seguidas rigurosa y permanentemente, sin importar el grado de dificultad del problema; en esta forma se logrará que el estudiante se habitúe a su constante aplicación.

 

1. leer el enunciado del problema; una vez entendido,  habrá claridad  sobre el área del conocimiento, (matemática, física, ciencias naturales, etc.), el tema de dicha área, (adición, sustracción, multiplicación, etc.), los datos incluidos,  y otros, que posiblemente, no se encuentran en el enunciado, pero que son necesarios para la solución.

2. Como encabezado de la solución, escribir  toda esta información según la siguiente guía:

 

Palabras y expresiones desconocidas: _______________________.

Área : _____________________________.

Tema: _____________________________.

Datos conocidos : _____________________________.

Datos desconocidos : __________________________.

Orden de las operaciones: _____________________.

Posible respuesta : ____________________________.

 

3. Solucionar el problema respetando el orden que se ha diseñado.

4. Comprobar que la respuesta obtenida sea coherente, con toda la información dada.

5. Escribir la respuesta fiel con lo preguntado.

 

Ejemplo:

  • Un regimiento de infantería tiene 324 hombres en el primer batallón, 200 en el segundo y 330 en el tercero; ¿de cuántos hombres consta este regimiento?

 

Solución:

Palabras y expresiones desconocidas: regimiento de infantería.

Área : aritmética.

Tema: adición con números enteros positivos.

 

Datos conocidos:

Primer batallón                            segundo batallón                      tercer batallón

324 hombres                                  200  hombres                           330 hombres

     

Datos desconocidos: total de hombres en dicho regimiento.

 

Orden de las operaciones: A 324 se le adiciona 200, y a este resultado parcial, se le adiciona 330.

Posible respuesta: la dada por el estudiante.

 

PROCEDIMIENTO:

 

Primer paso:

Marque en el ábaco el número 324, suba cuatro fichas de la columna de las unidades, dos fichas de la columna de las decenas y tres de la columna de las centenas.

Segundo paso:

Sobre el dato anterior marque el número 200: sólo mueva hacia arriba dos fichas de la columna de las centenas, ( dos centenas corresponden a 200 unidades).

 

 

 

 

 

 

Tercer paso:

Sobre el dato anterior marque el número 330: suba tres fichas de la columna de las decenas y tres de la columna de las centenas.

El número representado por las fichas que ocupan la parte superior del ábaco, corresponde a la respuesta.

 

 

 

Respuesta: este regimiento consta de 854 hombres.

  • En una institución educativa se encuentran presentes cuatrocientos doce estudiantes; setenta y ocho están en una caminata ecológica. ¿Cuántos estudiantes hay matriculados en dicha institución?

  

          1                                              2                                         Respuesta

Respuesta: en dicha institución se encuentran matriculados 490 estudiantes

  • ¿Cuál es el peso total de tres compañeros de mi grupo, si pesan,  respectivamente, 54 kilogramos, 48 kilogramos y 61kilogramos?

          1                                              2                                         Respuesta

Respuesta: el peso total de los tres compañeros es 163 kilogramos

  • Un tendero ha recibido tres cajas con barras de jabón: la primera caja tiene 144 barras, la segunda 252 y la tercera 67 barras; ¿cuántas barras contienen las tres cajas?

  

          1                                              2                                         Respuesta

Respuesta: las tres cajas contienen 463 barras de jabón.

¿Qué cantidad de dinero se requiere para pagar las siguientes deudas: $2350, $2600,$5450 y $1800?

  1                                                                         2

         3                                                                 Respuesta

Respuesta: para pagar esas deudas se requieren $12200 pesos.

 

 

1.3. Problemas propuestos:

 

  • En una feria se han vendido 445 carneros, 118 vacas, 95 caballos, 247 bueyes 405 cerdos; ¿cuántos animales se negociaron en dicho evento?

 

  • Juan Felipe tiene $5700, Anderson tiene $11580 y Leidy tanto como sus dos compañeros; ¿cuánto tiene esta última persona y cuál es el gran total?

  • Un regimiento de caballería tiene 325 caballos en el primer escuadrón, 290 en el segundo y 385 en el tercero; ¿cuántos caballos tiene el regimiento?

  • ¿Cuál es el peso de cuatro toros de lidia, si el primero pesa 436 kilogramos, el segundo 541, el tercer toro pesa 513 y el otro 498 kilogramos?

  • ¿Cuál es la longitud de una pieza de tela, si después de haber vendido 43 metros, quedan, todavía, 32?

  • Juan Sebastián compró un teléfono celular, y luego, lo vendió  en $42650; ganándole  $14500. ¿Cuál fue el precio de compra?

  •  Victor Manuel saca, de su dinero ahorrado, primero $8550, y luego, $15950; si le quedaron en la caja $23000; ¿cuánto dinero tenía al principio?

  • Hoy cumplo mis primeros seis años de edad; ¿cuál será mi edad dentro de 23 años?

  • Después de haber repartido 26 cuadernos cuadriculados a mis estudiantes de primero elemental, me quedó igual cantidad; ¿cuántos cuadernos tenía al principio?

  • Seis calles miden, respectivamente, 342 metros, 225 metros, 80 metros, 718 metros, 162 metros y 895 metros; ¿cuál es la longitud total?

  • Después de haber repartido 99 lapiceros entre mis estudiantes, me quedaron 38; ¿cuántos tenía al principio?

  • Andrés Mauricio nació en1989; ¿en qué año cumplió los 16 años?

  • ¿Cuántos árboles tiene una finca  con 396 manzanos, 247 naranjos y 195 perales?

4.PNG
5.PNG
6.PNG
7.PNG
8.PNG
9.PNG
10.PNG
11.PNG
12.PNG
13.PNG

2. SUSTRACCIÓN:

 

 Si sobre una mesa hay un paquete que contiene cinco libros, a la acción   de tomar tres libros del paquete se le denomina sustracción, palabra que proviene del verbo sustraer o tomar.

 

 

Figura 6

En esta operación, al paquete inicial se le denomina minuendo; la cantidad de libros que se toma se llama sustraendo, la parte que queda se denomina diferencia.

La sustracción llamada, también, diferencia entre dos conjuntos, cuyos elementos tienen propiedades similares, es otro conjunto que adicionado al conjunto sustraendo, reproduce el minuendo.

 

2.1. Leyes de la sustracción:

 

 En la sustracción o diferencia se cumplen tres leyes; ellas son:

 

  • Ley uniforme:

Las propiedades de los elementos de los conjuntos minuendo y sustraendo son las mismas de los elementos del conjunto diferencia. En la Figura 6, el minuendo y el sustraendo son dos conjuntos cuyos elementos son libros; la diferencia es otro conjunto integrado por libros.

 

  • Ley modulativa:

 

 

 

Al sustraer de un conjunto, (minuendo), el conjunto vacío, el resultado (diferencia), es el mismo conjunto minuendo; el conjunto vacío, representado por el símbolo cero, se llama módulo de la sustracción.

Nota: en la sustracción con números naturales no se cumplen la ley asociativa, la disociativa y la conmutativa.

 

2.2. Problemas sobre sustracción:

 

  • Un padre tenía 26 años al nacer su hijo. ¿Cuál será la edad de su hijo cuando el padre cumpla 77 años?

 

Solución:

Palabras y expresiones desconocidas:  las dadas por el estudiante.

Área: aritmética:  sustracción con números enteros positivos.

Datos conocidos:

Edad del padre en el pasado:  26 años

Edad del padre en el futuro:  77 años.

Datos desconocidos :  Edad del hijo cuando el padre tenga 77 años.

Orden de las operaciones:  A 72 años se le resta 29 años.

Posible respuesta :  La dada por el estudiante.​

Procedimiento:

Primer paso:

Marque en el ábaco la cifra 77, (mueva hacia arriba siete fichas de la columna de las unidades y siete fichas de la columna de las decenas).

 

 

 

 

 

 

Segundo paso:

Al dato anterior, retírele las fichas que representan el número 26, ( mueva hacia abajo seis fichas de la columna de las unidades y dos fichas de la columna de las decenas).

 

 

Tercer paso:

Haga la lectura del número que representa las fichas que se encuentran ubicadas en la parte superior, ésta es la respuesta.

Respuesta: la edad del hijo cuando el padre cumpla 77 años, será 51 años.

 

       _________________________________________________________________________________________________

  • En un recipiente que tiene una capacidad para 568 litros se depositan, inicialmente, 143 litros; ¿cuántos litros se necesitan para llenarlo, completamente?

            

Respuesta: se necesitan 425 litros para llenarlo.

     _________________________________________________________________________________________________

  • De 524 estudiantes que tiene una institución educativa, 102 se encuentran en una caminata ecológica; ¿cuántos estudiantes se encuentran en la institución?

 

Respuesta: en la institución se encuentran 422 estudiantes.

     _________________________________________________________________________________________________

  • De un corte de 432 metros de paño, un comerciante vende 325 metros, ¿cuántos metros tiene para vender?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Respuesta: al comerciante le quedan, todavía, 107 metros de paño para vender.

     _________________________________________________________________________________________________

  • ¿En qué año nació mi amigo si en el 2008 cumple 18?

 

 

Explicación:

  • Marque en el ábaco el número 2008. Figura 1

  • Baje las ocho esferas azules que corresponden  a las ocho unidades del  número dieciocho. Figura 2.

  • En las columnas de las decenas y de las centenas no hay fichas disponibles, entonces baje una esfera de color naranja, (una unidad de mil), y suba las diez esferas de color rojo, que representan mil unidades. Figura 3

  • Ahora, baje una esfera roja, (una centena), y suba las diez decenas (esferas moradas). Figura 4.

  • Baje una esfera morada que equivale a una decena representada en el número diez y ocho.

  • La respuesta está indicada por las fichas que se encuentran en la parte superior de la figura 5.

 

Respuesta: su amigo nació en 1990

     ______________________________________________________________________

2.3. Problemas propuestos:

  • Una competencia ciclística consta de 19348 kilómetros; si los ciclistas han recorrido, hasta el momento, 8751 kilómetros; ¿cuántos kilómetros hacen falta para terminar la prueba?

  • Si mi edad dentro de 23 años es de 29, ¿cuántos años tengo en este momento?

  • Federico vendió su teléfono celular en $53210, ganándole $9630. ¿Cuál fue el precio de compra?

  • Regalé 41 lápices a mis estudiantes, de 65 que tenía al principio; ¿qué cantidad tengo, aún?

  • Un regimiento de caballería tiene 609 caballos, si el primer escuadrón cuenta con 401 caballos, ¿con cuántos cuenta el segundo regimiento?

  • De $83200 que Lorena tiene ahorrados, retira $35250 para sus gastos personales, ¿qué cantidad de dinero conserva en su cuenta?

  • Un trabajador recibe un salario mensual de $505000; sabiendo que debe pagar $260000 en arrendamiento; ¿cuánto le queda para el resto de las obligaciones en su hogar?

2.4. Problemas  combinados de adición y sustracción:

  • Un ejército se componía de 54600 hombres; se le incorporan dos regimientos de 2745 hombres, y otro, de 3512 hombres; en un combate pierde 3648 hombres. ¿Cuántos soldados permanecen en el ejército?

Solución:

  • Palabras y expresiones desconocidas: las dadas por el estudiante.

  • Área : aritmética.

  • Tema: problemas combinados de adición y sustracción con números enteros positivos.

  • Datos conocidos:

  • Número inicial de hombres que tiene el ejército: 54600

  • Los dos regimientos que se le incorporan de 2745 y 3512 hombres, respectivamente       

  • Datos desconocidos : Con cuantos soldados queda el ejército:

  • Orden de las operaciones: A 54600 se le adiciona 2745; a este total parcial, se le adiciona 3512, y a este total, se le resta 3648.

  • Posible respuesta: la dada por el estudiante.

PROCEDIMIENTO:

Primer paso:

Marque en el ábaco el número 54600, subiendo las fichas requeridas.

Segundo paso:

sobre la figura anterior, suba las fichas que corresponden al número 2745 ( adición de uno de los dos regimientos). Note que al moverlas, debe cambiarse una esfera de la columna de las unidades de mil, y bajar las diez de la columna de las centenas, para poder continuar con el conteo de las  tres fichas restantes.

 

 

Tercer paso:

sobre la figura anterior, suba las fichas que corresponden al número 3512 ( adición del otro regimiento).

 

 

 

Cuarto paso:

Por último, baje las esferas que representan el número 3648 (hombres que murieron en combate).

En la columna de las unidades de la figura anterior, hay siete esferas de color azul claro, ubicadas en la parte superior, de las cuales se baja, ( restar), ocho; baje las siete; luego,cambie estas diez unidades por una decena, subiendo aquéllas y bajando una de color morado; por último, baje la unidad para completar las ocho; continúe el proceso, bajando cuatro esferas de la columna de las decenas, seis de las centenas y tres de las unidades de mil, que representan el 3648; número que debe restarse de la figura anterior.

 

 

Respuesta: en el ejército permanecen 57209 soldados.

  • En un recipiente que tiene una capacidad para 743 litros, se depositan, sucesivamente, 256 litros de agua y 470 litros de agua. ¿Cuántos litros se necesitan para llenar el recipiente?

      

Respuesta: para llenar el recipiente se necesitan 17 litros.

      ______________________________________________________________________________________________________

2.5. Problemas propuestos combinados  sobre adición y sustracción

  • ¿Qué dinero tenía Anderson en el bolsillo, si con $25600  y $15400 que dos de sus amigos le pagan, completa $64200?

  • Un negociante ha comprado 220 metros de tela, y luego 240; vende 53 metros, y luego 107 metros. ¿Cuántos le quedan todavía?

  • Vendiendo llamadas telefónicas con su celular, una persona recibe en el primer día la suma de $16550, y en el segundo día $23250; si debe pagar a la empresa $30150; ¿qué dinero ganó en esos días por concepto de llamadas?

1.PNG
2.PNG
3.PNG